Question

已知直线

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数）与圆x²+y²=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有

60

条．

Answer 1

分析：x²+y²=100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），
如图，共12个点，直线

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数）与x，y轴不平行，不经过原点，任意两点连线有C₁₂²条，与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，其中有两条既过原点又与x，y轴平行，共有C₁₂²+12-14-6+2=60条这样的直线．

解答：解：x²+y²=100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），
如图，共12个点，
直线

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数），
∴直线与x，y轴不平行，不经过原点，
任意两点连线有C₁₂²条，
与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，
其中有两条既过原点又与x，y轴平行，
∴共有C₁₂²+12-14-6+2=60．
故答案为：60．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地借助数形结合进行求解．