Question

(12分)已知函数，
(1)当时，求的反函数；
(2)求关于的函数当时的最小值；
(3)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间使得函数在区间上的值域为.
(Ⅰ)判断(2)中是否为“和谐函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由；
(Ⅱ)若关于的函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）     (或)
（2）

解：(1)
(2)由已知得：
令，则 ，
1)当时，
2)当时，，
(3)(Ⅰ)对(2)中，易知在上为减函数，
1)若时，递减，若是“和谐函数”，
则与矛盾；
2)若时，恒等.
此时满足题意，所以这样的存在；
3)若，则
.
     (或)
(Ⅱ)在上单增，由“和谐函数”的定义知：该函数在定义域内，存在区间，使得该函数在上的值域为，所以， ，为方程的二实根，
即方程在上存在两个不等的实根，且恒成立，
令，