Question

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试判断是否存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＞0即可得函数的单调增区间和单调减区间，由于导函数中含有参数a，故要解不等式需讨论a的正负；
（2）先利用（1）中的结论，求a≥1时函数f（x）的最小值g（a），再利用导数证明函数g（a）的最大值大于1+ln，从而说明存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于，从而证明存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线无公共点．
解答：解：（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）．，
①若a≤0，则在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤0时，f（x）的增区间为（1，+∞）
②若a＞0，则，故当时，；当时，，
∴a＞0时，f（x）的减区间为的增区间为．
（2）a≥1时，由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上的最小值为．
设，（ a≥1）
则，
∵在[1，+∞）上为减函数，∴g′（a）
∴在[1，+∞）上单调递减，
∴g（a）_max=g（1）=+ln2，
∵+ln2-1-ln=ln＞0，∴g（a）_max＞1+ln
∴存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线无公共点．
点评：本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值的方法，分类讨论和转化化归的思想方法