Question

函数f（x）=x^α，对任意的x∈（-1，0）∪（0，1），若不等式f（x）＞x恒成立，则在α∈{-1，0，

1

2

，1，2，3}的条件下，α可以取的值的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由题设条件，分别把α∈{-1，0，

1

2

，1，2，3}中的六个元素逐个代入f（x）=x^α，逐个进行验正，能够得到α可以取的值的个数．

解答：解：当α=-1时，f（x）=x^-1，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠-1；
当α=0时，f（x）=x⁰=1，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x成立，
∴α=0；
当α=

1

2

时，f（x）=x 

1

2

，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠

1

2

；
当α=1时，f（x）=x，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠1；
当α=2时，f（x）=x²，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠2；
当α=3时，f（x）=x³，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不恒成立，
∴α≠3．
综上所述，α可以取的值只有0．
故选D．

点评：本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意采用逐个验正的方法能够得到答案．