题目内容
【题目】
是自然对数的底数，已知函数
，
.
（1）求函数
的最小值；
（2）函数
在
上能否恰有两个零点?证明你的结论.
【答案】（1）
（2）能够恰有两个零点，证明见解析
【解析】
（1）先求导数，再求极值。然后可得最小值；
（2）结合零点存在定理进行判定.
（1）求导
，由
，得
.列表如下:
|
|
|
|
|
|
| + | 0 |
| 0 | + |
| 单调递增 | 有极大值 | 单调递减 | 有极小值 | 单调递增 |
知
为极大值，
为极小值.
又因为
当且仅当
时，
，并且在区间
上
为减函数，在区间
上为增函数，
故在
上的最小值为.
（2）函数
在
上能够恰有两个零点；
证明如下:由
，知
是一个零点.
又由（1）知，是函数的一个极大值，
在单调区间
和
都不会再有零点了.
考虑单调区间
，由
， 
，
可见，函数在单调区间恰有一个零点.所以，函数在上恰有两个零点.
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