题目内容
【题目】已知函数
（
）.
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）若在区间
内有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
在
上单调递减，在
上单调递增. （2）
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论
的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．
解：（1）由题意可得的定义域为
，
当
时，易知
∴由
得
，由
得
，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可得
，
当时，
，
记
，则
，
∵在内有两个极值点，
∴
在内有两个零点，
∴
.
令
，则
，
当
，即
时，
，所以在上单调递减，
的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.
当
，即
时，在上
，单调递增，
的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.
当
，即
时，在
上单调递增，在
上单调递减
由
知，要使在内有两个零点，必须满足
，解得
.
综上，实数a的取值范围是.
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