Question

【题目】已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.

（1）证明：点恒在椭圆上.

（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）根据题意求得的坐标，设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到，由此判断出恒在椭圆上.

（2）首先判断直线的斜率是否存在.然后当直线斜率存在时，设出直线的方程，判断出的位置并设出的坐标.联立直线的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得的关系式，进而求得的坐标，结合点坐标以及，利用列方程，结合等式恒成立求得的坐标.

（1）证明：由题意知，设，则.

直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，，即的坐标为.

因为，

所以点恒在椭圆上.

（2）解：当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线的方程为，由对称性可知，若平面内存在定点，使得恒成立，则一定在轴上，故设，

由可得.

因为直线与椭圆只有一个公共点，

所以，

所以.

又因为，所以，

即.

所以对于任意的满足的恒成立，

所以解得.

故在平面内存在定点，使得恒成立.