题目内容
20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1-
)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(x＞a-1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
20．解 (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0.99，解得x=19．
由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程=0.99，解得y=4a，故z=4a+3．
即两种方案的用水量分别为19与4a+3．
因为当1≤a≤3时，x-z=4(4-a)＞0，即x＞z．
故方案乙的用水量较少．
（Ⅱ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（Ⅰ）得
x=，y=a（99-100c） （*）
于是x+y=
+a（99-100c）=
+100a（1-c）-a-1.
当a为定值时，x+y≥2
-a-1=-a+4
-1.
当且仅当
=100a（1-c）时等号成立.此时c=1+
（不合题意，舍去）
或c=1-
∈（0.8，0.99）.
将c=1-
代入（*）式得x=2
-1＞a-1，y=2
-a.
故c=1-
时总用水量最小，此时第一次与第二次用水量分别为2
-1与2
-a，最少总用水量是T（a）=-a+4
-1.
当1≤a≤3时，T′（a）=
-1＞0，故T（a）是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）.这说明，随着a的值的增加，最少总用水量增加.
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为
, 要求清洗完后的清洁度为
. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为
. 设用
单位质量的水初次清洗后的清洁度是
, 用
单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
, 
是该物体初次清洗后的清洁度. 
时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; 
为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论
)为0.8,要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(x＞a-1),用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
,其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.
)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为
(1≤a≤3).设用
单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(
),用
质量的水第二次清洗后的清洁度是
,其中
是该物体初次清洗后的清洁度.
时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(x＞a-1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.