题目内容
对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1-
)为0.8,要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(x＞a-1),用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
,其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少.
(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响.
解析:(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99.解得x=19.
由c=0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程=0.99,解得y=
即两种方案的用水量分别为19与
因为当1≤a≤3时,x-z=4(4-a)＞0,即x＞z,
故方案乙的用水量较少.
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(1)得x=,y=a(99
于是x+y=
+a(99
=
+
当a为定值时,x+y≥
-a-1=-a+
a-1.
当且仅当
=
(不合题意,舍去),
或c=1-
∈(0.8,0.99).
将c=1-
代入(*)式得x=
-1＞a-1,y=
-a.
故c=1-
时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为
-1与
-a,最少总用水量T(a)=-
-1.
当1≤a≤3时,T′(a)=
-1＞0,故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的增加,最少总用水量增加.
练习册系列答案
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为
, 要求清洗完后的清洁度为
. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为
. 设用
单位质量的水初次清洗后的清洁度是
, 用
单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
, 
是该物体初次清洗后的清洁度. 
时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; 
为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论
)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为
(1≤a≤3).设用
单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(
),用
质量的水第二次清洗后的清洁度是
,其中
是该物体初次清洗后的清洁度.
时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
(x＞a-1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.