Question

对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-

污物质量

物体质量(含污物)

）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是

x+0.8

x+1

（x＞a-1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是

y+ac

y+a

，其中c（0.8＜c＜0.99）是该物体初次清洗后的清洁度．
（Ⅰ）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

Answer 1

分析：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由

x+0.8

x+1

=0.99求得x，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足的方程，进而解得y，进而求得a和z的关系式，进而根据a的范围得出方案乙的用水量较少．
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，求得x和y的关系式，当a为定值时求得x+y的最小值，根据等号成立的条件求得c，；当a不为定值时，根据T(a)=-a+4

5a

-1是增函数，进而可知，随着a的值的最少总用水量，最少总用水量最少总用水量．

解答：解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有

x+0.8

x+1

=0.99，
解得x=19．
由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：

y+0.95a

y+a

=0.99，
解得y=4a，故z=4a+3．
即两种方案的用水量分别为19与4a+3．
因为当1≤a≤3时，x-z=4（4-a）＞0，
即x＞z，
故方案乙的用水量较少．
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得
x=

5c-4

5(1-c)

，y=a（99-100c）（*）
于是x+y=

5c-4

5(1-c)

+a（99-100c）=

1

5(1-c)

+100a(1-c)-a-1
当a为定值时，x+y≥2

1 5(1-c) ×100a(1-c)

-a-1=-a+4

5a

-1，
当且仅当

1

5(1-c)

=100a(1-c)时等号成立．
此时c=1+

1

10 5a

(不合题意，舍去)或c=1-

1

10 5a

∈(0.8，0.99)，
将c=1-

1

10 5a

代入（*）式得x=2

5a

-1＞a-1，y=2

5a

-a．
故c=1-

1

10 5a

时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为2

5a

-1与2

5a

-a，
最少总用水量是T(a)=-a+4

5a

-1．
当1≤a≤3时，T′(a)=

2 5

a

-1＞0，
故T（a）是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．
这说明，随着a的值的增加，最少用水总量增加．

点评：本题主要考查了基本不等式．利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一．在具体的题目中，“正数”条件往往可以从题设中获得解决，“相等”条件需要验证确定，而要获得“定值”条件，通常需要一定的灵活性和变形的技巧．