Question

在平面直线坐标系xOy中，直线l与抛物y²=2x相交于A、B两点.

(1)求证：“如果直线l过点（3，0），那么=3”是真命题.

(2)写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

Answer 1

（1）证明：设l:x=ty+3,代入抛物线y²=2x,消

去x得?

y²-2ty-6=0.?

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),?

∴y₁+y₂=2t,y₁y₂=-6,?

=x₁x₂+y₁y₂=(ty₁+3)(ty₂+3)+y₁y₂?

=t²y₁y₂+3t(y₁+y₂)+9+y₁y₂?

=-6t²+3t2t+9-6=3.?

∴=3,故为真命题.

(2)解：(1)中命题的逆命题是：若=3，则直线l过点（3,0）是假命题.?

设l:x=ty+b,代入抛物线y²=2x,消去x得y²-2ty-2b=0.?

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则y₁+y₂=2t,y₁y₂=-2b.?

∵=x₁x₂+y₁y₂?

=(ty₁+b)(ty₂+b)+y₁y₂?

=t²y₁y₂+bt(y₁+y₂)+b²+y₁y₂?

=-2bt²+bt2t+b²-2b=b²-2b,?

令b²-2b=3,得b=3或b=-1.?

此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.?

故逆命题为假命题.

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算及四种命题，考查运算能力及利用所学知识与方法解决问题的能力.