Question

（2008•浦东新区二模）棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是棱的CC₁中点．
（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求四面体ACPD₁的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BP，∵AB⊥平面BCC₁B₁，∴BP是AP在面BCC₁B₁上的射影，∴∠APB即为直线AP与平面BCC₁B₁所成角．解Rt△ABP即可．
（2）将四面体ACPD₁看作以A为顶点，以△CPD₁ 为底面的三棱锥，且高等于棱长2，△CPD₁ 面积可求．

解答：解：（1）连接BP，∵AB⊥平面BCC₁B₁，，∴BP是AP在面BCC₁B₁上的射影
∴∠APB即为直线AP与平面BCC₁B₁所成角
∵AB=1，BC=1，CP=

1

2

，∴BP=

5

2

tan∠APB=

1

5 2

=

2 5

5

，∠APB=arctg

2 5

5

（2）连接AC、D₁C，则VACPD1=VA-CPD1
=

1

3

S△CPD1•AD=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

点评：本题考查线面角、体积计算．考查空间想象、转化计算能力．对于三棱锥的体积计算要根据其结构特征，选择适当的底面和高，有利于问题解决．