Question

（本题满分15分）已知圆：，一动直线l过与圆相交于、两点，是中点，l与直线m：相交于.

（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心；

（Ⅱ）当时，求直线l的方程；

（Ⅲ）探索是否与直线l的倾斜角　

有关，若无关，请求出其值；若有关，

请说明理由.

Answer 1

 解：（Ⅰ）l与m垂直，且，，又，

所以当l与m垂直时，l必过圆心．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）①当直线与x轴垂直时, 易知符合题意………………………………………5分

②当直线与x轴不垂直时, 设直线的方程为，即，

因为，所以，则由，得………9分

 直线：. 从而所求的直线的方程为或……10分

（Ⅲ）因为CM⊥MN, …12分

当与x轴垂直时，易得，则,又,

…………………………………………………………………13分

当的斜率存在时，设直线的方程为，

则由，得（）,则…………14分

= …………………………………………15分

综上，与直线l的斜率无关，且.……………………………16分

另解1：①当与x轴垂直时，易得，又，

则，……………………………………11分

②当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得

,则,

,即（）,则……………13分

又由，得（）, 则………14分

……………15分

综上，与直线l的斜率无关，且.……………………………16分

另解2：连结并延长交于点，连结，由（Ⅰ）知，又，

四点都在以为直径的圆上，由相交弦定理得：．