题目内容
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数
（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧
．（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧
上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
【答案】分析：（1）依题意，得A=2，
．根据周期公式T=
可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有
，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．
解答：解：（1）由条件，得A=2，
．（2分）
∵
，∴
．（4分）
∴曲线段FBC的解析式为
．
当x=0时，
．又CD=
，∴
．（7分）
（2）由（1），可知
．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故
．（8分）
设∠POE=θ，
，“矩形草坪”的面积为
=
．（13分）
∵
，故
取得最大值．（15分）
点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．
．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有
，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．解答：解：（1）由条件，得A=2，
．（2分）∵
，∴．（4分）∴曲线段FBC的解析式为
．当x=0时，
．又CD=，∴．（7分）（2）由（1），可知
．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故
．（8分）设∠POE=θ，
，“矩形草坪”的面积为=
．（13分）∵
，故取得最大值．（15分）点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．
练习册系列答案
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如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数
，
时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧
．
（1）求
的值和
的大小；
，求当“矩形草坪”的面积取最大值时
的值．
（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧
．
上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧
．
上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．