Question

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+

2π

3

)（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长

3

千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧

DE

．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

DE

上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，得A=2，

T

4

=3．根据周期公式T=

2π

w

可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有0＜θ≤

π

4

，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．

解答：解：（1）由条件，得A=2，

T

4

=3．（2分）
∵T=

2π

ω

，∴ω=

π

6

．（4分）
∴曲线段FBC的解析式为y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)．
当x=0时，y=OC=

3

．又CD=

3

，∴∠COD=

π

4

，即∠DOE=

π

4

．（7分）
（2）由（1），可知OD=

6

．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故OP=

6

．（8分）
设∠POE=θ，0＜θ≤

π

4

，“矩形草坪”的面积为S=

6

sinθ(

6

cosθ-

6

sinθ)=6(sinθcosθ-sin2θ)
=6(

1

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

)=3

2

sin(2θ+

π

4

)-3．（13分）
∵0＜θ≤

π

4

，故当2θ+

π

4

=

π

2

时，θ=

π

8

时，S取得最大值．（15分）

点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．