Question

已知n∈N*，求证：

1

1×20

+

1

2×21

+

1

3×22

+…+

1

n×2n-1

＜

3

2

．

Answer 1

分析：由 

1

1×20

+

1

2×21

+

1

3×22

+…+

1

n×2n-1

≤1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

 
利用等比数列的求和公式求得其值为  1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

3

2

-(

1

2

)n，显然小于 

3

2

．

解答：证明：∵

1

1×20

+

1

2×21

+

1

3×22

+…+

1

n×2n-1

≤1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

 
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

3

2

-(

1

2

)n＜

3

2

，
故

1

1×20

+

1

2×21

+

1

3×22

+…+

1

n×2n-1

＜

3

2

 成立．

点评：本题考查用放缩法证明不等式，等比数列的求和公式，利用当n≥2时

1

n×2n-1

≤

1

2n

，是解题的关键．