Question

已知曲线C：y=x²（x＞0），过C上的点A₁（1，1）作曲线C的切线l₁交x轴于点B₁，再过B₁作y轴的平行线交曲线C于点A₂，再过A₂作曲线C的切线l₂交x轴于点B₂，再过B₂作y轴的平行线交曲线C于点A&₃，…，依次作下去，记点A_n的横坐标为a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=（8-2n）a_n，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：0＜T_n≤4．

Answer 1

【答案】分析：（I）由y'=2x（x＞0）．知切线l_n的方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以．依题意点A_n+1在直线上，所以数列{a_n}是1为首项，为公比的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，知．由错位相减法能导出，n≥2时，．由n≥2时，T_n≤T_n-1，知T_n≤T_n-1≤…≤T₂，由此能够证明0＜T_n≤4．
解答：解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲线C在点A_n（a_n，a_n²）处的切线l_n的斜率为k_n=2a_n．
∴切线l_n的方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y=0得   ，
∴．
依题意点A_n+1在直线上，
∴又a₁=1．（4分）
∴数列{a_n}是1为首项，为公比的等比数列．
∴．（5分）
（Ⅱ）由已知．
∴．①．②
①-②得==．（9分）
∴（10分）
又n≥2时，．
又当n≥2时，T_n≤T_n-1．
∴T_n≤T_n-1≤…≤T₂．
∴当n=2时，T₁=T₂=4．
∴（T_n）_max=T₂=4，∴T_n≤4．（13分）
综上0＜T_n≤4．（14分）
点评：本题考查通项公式的求法和求证：0＜T_n≤4．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．