Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形， 　平面，且是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小.

解析：

（1）解法一：取的中点，连接.

在中， 是的中点， 是的中点，

所以，又因为，

所以且.

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面平面，故平面.

解法二：因为平面，

故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得，

设平面的一个法向量是.

由得

令，则.

又因为，所以，又平面，

故平面.

（2）由（1）可知平面的一个法向量是.

易得平面的一个法向量是

所以，又二面角为锐角，

故二面角的余弦值大小为.