Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若将函数f（x）的图象平移Φ个单位，得到一个偶函数的图象，求|Φ|的最小值；
（4）求函数y=f（x-3）+f（2x+7）（x∈[0，2]）的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数图象的特点可得周期T，结合图象可得函数的单调递减区间；
（2）由周期性可得ω=$\frac{π}{4}$，可得A=2，代入点（7，-2）可得φ值，可得解析式；
（3）由函数图象变换和偶函数可得$\frac{π}{4}$Φ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得Φ=4k+3，k∈Z，给k取值可得|Φ|的最小值；
（4）代入化简可得y=-4sin²$\frac{π}{4}$x-2sin$\frac{π}{4}$x+2，由二次函数区间的值域可得．

解答 解：（1）由正弦函数图象的特点可知周期T满足$\frac{3}{4}$T=7-1，
解得周期T=8，结合图象可得函数的单调递减区间为[8k+3，8k+7]，k∈Z；
（2）由（1）可得$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω=$\frac{π}{4}$，A=2，故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
代入点（7，-2）可得-2=2sin（$\frac{π}{4}$×7+φ），
结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{4}$，故函数解析式为f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$）；
（3）将函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$）的图象平移Φ个单位，
得到函数的解析式为y=2sin[$\frac{π}{4}$（x+Φ）-$\frac{π}{4}$）]=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$Φ-$\frac{π}{4}$），
由偶函数可得$\frac{π}{4}$Φ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得Φ=4k+3，k∈Z，
取k=-1时，可得Φ=-1，此时|Φ|取最小值1；
（4）函数y=f（x-3）+f（2x+7）
=2sin[$\frac{π}{4}$（x-3）-$\frac{π}{4}$）]+2sin[$\frac{π}{4}$（2x+7）-$\frac{π}{4}$）]
=2sin（$\frac{π}{4}$x-π）+2sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{3π}{2}$）
=-2sin$\frac{π}{4}$x+2cos$\frac{π}{2}$x
=-2sin$\frac{π}{4}$x+2（1-2sin²$\frac{π}{4}$x）
=-4sin²$\frac{π}{4}$x-2sin$\frac{π}{4}$x+2，
∵x∈[0，2]，∴$\frac{π}{4}$x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sin$\frac{π}{4}$x∈[0，1]，
由二次函数可知当sin$\frac{π}{4}$x=0时，函数取最大值2，
当sin$\frac{π}{4}$x=1时，函数取最小值-4，
故函数的值域为：[-4，2]．

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及函数图象的变换和二次函数区间的最值，属中档题．