Question

19．若a，b，c＞0，且$a（a+b+c）+bc=4+2\sqrt{3}$，则2a+b+c的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $2\sqrt{3}+2$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $2\sqrt{3}-2$

Answer 1

分析 由题意知a（a+b+c）+bc=（a+c）（a+b）=4+2$\sqrt{3}$，所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2$\sqrt{（a+b）（a+c）}$=2$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$+2，即可求出2a+b+c的最小值．

解答 解：a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc
=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4+2$\sqrt{3}$．
2a+b+c=（a+b）+（a+c）
≥2$\sqrt{（a+b）（a+c）}$=2$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$+2，
所以，2a+b+c的最小值为2$\sqrt{3}$+2．
故选：B．

点评 本题考查不等式的基本性质和应用：求最值，解题时注意变形，运用因式分解和整体思想，属于中档题．