Question

若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为（　　）

• A．(-

  π

  8

  ，0)
• B．(

  π

  8

  ，0)
• C．（0，0）
• D．(-

  π

  4

  ，0)

Answer 1

分析：利用辅助角公式化简得f（x）=

2

sin（ωx+

π

4

），根据周期公式算出ω=2，得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．由正弦函数图象对称中心坐标的公式解关于x的方程，得到f（x）的对称中心坐标为（-

π

8

+

1

2

kπ，0）（k∈Z），再取k=0得到(-

π

8

，0)是函数图象的一个对称中心，从而得到答案．

解答：解：化简得f（x）=sinωx+cosωx=

2

sin（ωx+

π

4

），
∵函数的周期T=π，
∴

2π

ω

=1，解之得ω=2，得函数解析式为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ（k∈Z），得x=-

π

8

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）图象的对称中心坐标为（-

π

8

+

1

2

kπ，0），（k∈Z），
取整数k=0，得（-

π

8

，0）是函数图象的一个对称中心．
故选：A

点评：本题给出正弦型三角函数满足的条件，求函数图象的对称中心坐标，着重考查了辅助角公式、三角函数的周期公式和三角函数图象的对称性等知识，属于基础题．