题目内容

设函数．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[－1，e－1]时，是否存在整数m，使不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，则说明理由．

(1)由1＋x>0，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1<x<0.

∴函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．

(2)由(1)知，f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0，e－1]上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝0.

又f(－1)＝＋1，f(e－1)＝e2－e，且e2－3>＋1，

∴x∈[－1，e－1]时，f(x)max＝e2－e.

∵不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立，

∵m是整数，∴m＝－1.

∴存在整数m＝－1，使不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立．

练习册系列答案
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设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．
由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列bn，bn=f-1（n）若对于任意n∈N*都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=
px+1
x+1
，若由函数f（x）确定的数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
（2）已知正整数列{cn}的前项和sn=
1
2
（cn+
n
cn
）．写出Sn表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=
-1
anSn2
，Dn是数列{dn}的前n项和，且Dn＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．
已知函f（x）=ln x，g（x）=
12
ax2+bx（a≠0）．
（1）若a=-2时，函h（x）=f（x）-g（x），在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）当a=-2，b=4时，求证2x-f（x）≥g（x）-3．
设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2
2
，求b的最大值．

已知函数．

(1)求图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与x轴交点坐标．

(2)求函数的单调区间，最值，零点．

(3)设图象与x轴相交于点(x1，0)，(x2，0)，不求出根，求|x1－x2|．

(4)已知，不计算函数值，求．

(5)不计算函数值，试比较与的大小．

(6)写出使函数值为负数的自变量x的集合．

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