Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函f（x）的解析式；
（2）若|x₁|+|x₂|=2

2

，求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为x₁、x₂是函数f（x）的两个极值点，而x₁=-1，x₂=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式；
（2）因为x₁、x₂是导函数f′（x）=0的两个根，利用根与系数的关系对已知进行变形得到a和b的等式，求出b的范围，设h（a）=3a²（6-a），求出其导函数，利用导数研究函数的增减性得到h（a）=的极大值，开方可得b的最大值．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．
∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x…（4分）
（2）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（x₁）=f'（x₂）=0．
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根．
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，
∵△=4b²+12a³，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．
∵a＞0，∴x₁•x₂＜0．
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

(- 2b 3a )2-4(- a 3 )

=

4b2 9a2 + 4 3 a

．
由|x1|+|x2|=2

2

得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2

2

，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴3a²（6-a）≥0，
∴0＜a≤6…（8分）
令h（a）=3a²（6-a），则h'（a）=-9a²+36a．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）内是减函数．
∴当a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是4

6

…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查学生会用待定系数法求函数解析式，考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确理解极值的含义．