Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）将参数a分离出来，得到 在[，+∞）上恒成立，然后利用导数研究不等式右边的函数在[，+∞）上的最小值即可．
解答：解：（1）∵f′（0）=e-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点

（2）由 ，
得 ，
即 ，
∵，∴，
令 ，则 ，
令 ，则ϕ'（x）=x（e^x-1）
∵，∴ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在 上单调递增，
∴，
因此g'（x）＞0，故g（x）在 上单调递增，
则 ．
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想．