Question

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

Answer 1

（1）证明见解析（2）arccos.（3）

解析:

（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面  ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).

∴=（－4，0，0），=（0，2，－2），

∵·=（－4，0，0）·（0，2，－2）=0，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

          

·n=3x+y=0，

则                                   取z=1，则x=，y=-，

·n=－x+z=0，

∴n=(，－，1)，

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos<n，>==.

∴二面角N－CM－B的大小为arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d==.