Question

设函数f（x）=ax+

a+1

x

，（a＞0），g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（1）求a的值；
（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x），其中x∈（0，+∞），k∈R，判断并证明h（x）在（0，+∞）的单调性；
（3）若存在区间[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）=g（x）可化为关于x的二次方程，由一解可得△=0，从而可得a值，注意检验x是否为0；
（2）利用函数单调性的定义即可作出判断证明；
（3）由题意可得h（x）_min=m，h（x）_max=n，根据h（x）的单调性可得h（x）_min=h（m）=-

2

m

+k-4=m，h（x）_max=h（n）=-

2

n

+k-4=n，从而问题转化为方程-

2

x

+k-4=x在（0，+∞）上有两个不等实根，分离出k-4，借助x+

2

x

的单调情况及其最值可求得k的范围．

解答：解：（1）f（x）=g（x），即ax+

a+1

x

=4-x，
∴（a+1）x²-4x+a+1=0（x≠0），
∵满足f（x）=g（x）的x有且只有一个，
∴△=16-4（a+1）²=0，解得a=1
当a=1时，f（x）=g（x）化为2x²-4x+2=0，解得x=1≠0，
∴a=1；
（2）h（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
由（1）知f（x）=x+

2

x

，且g（x）=4-x，
∴h（x）=k-f（x）-g（x）=k-x-

2

x

-4+x=-

2

x

+k-4，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则h（x₁）-h（x₂）=（-

2

x1

+k-4）-（-

2

x2

+k-4）=

2(x1-x2)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）存在区间[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，即在[m，n]上h（x）_min=m，h（x）_max=n，
∵0＜m＜n，∴由（2）知h（x）在[m，n]上单调递增，
∴h（x）_min=h（m）=-

2

m

+k-4=m，h（x）_max=h（n）=-

2

n

+k-4=n，
问题等价于方程-

2

x

+k-4=x在（0，+∞）上有两个不等实根，也即方程k-4=x+

2

x

在（0，+∞）上有两个不等实根，
∵x＞0时，x+

2

x

在（0，

2

）上递减，在（

2

，+∞）上递增，且x+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

时取等号，
∴k-4＞2

2

，即k＞4+2

2

，
故所求k的取值范围时（4+2

2

，+∞）．

点评：本题考查函数单调性的判断证明、函数值域的求解及二次方程根的分布情况，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．