Question

【题目】设函数，其中为常数．

（1）当时，求证：有且仅有一个零点；

（2）若函数在定义域内既有极大值，又有极小值，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）利用导数求出函数的单调性和极值，结合极值的大小即可证出有且仅有一个零点；

（2）因为函数在定义域内既有极大值，又有极小值，所以有两个正根，再利用根与系数的关系即可求出的取值范围．

（1），，，

解，得，，

列表如下：

		1		2
	+	0	﹣	0	+
		极大值		极小值

因为极大值，所以在无零点，从而在无零点，

又因为，，所以在有零点，因为在单调递增，所以在有唯一零点，即有且仅有一个零点；

（2），

∵函数在定义域内既有极大值，又有极小值，∴有两个正根，

即有两个正根、，

所以，，

解得，

∴的取值范围为．