Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥EBD；
（3）在（2）的条件下，如果一只苍蝇在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内部任意飞，求它在三棱锥A₁-BDE内部飞的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知A₁A⊥底面ABCD得BD⊥A₁A，证出BD⊥平面ACEA₁证A₁E⊥BD；
（2）利用正方体的棱长求出各边长，利用勾股定理，证明线线垂直，再由面面垂直的判定定理证明；
（3）此题为几何概型求概率，先求三棱锥A₁-BDE的体积，再求体积比即可．

解答：解：连接AC，设AC∩DB=O，连接A₁O，OE，
（1）∵A₁A⊥底面ABCD，
∴BD⊥A₁A，
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACEA₁，∵A₁E?平面ACEA₁．
∴A₁E⊥BD；（4分）
（2）在等边三角形A₁BD中，BD⊥A₁O，
而BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁E?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE．于是BD⊥OE．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，
∵E为棱CC₁的中点，由平面几何知识，
得

EO= 3 a A1O= 6 a A1E=3a

，
∴A₁E²=A₁O²+EO²，∴∠A₁OE=90°．
∴A₁O⊥OE A₁O?平面A₁BD，∵BD?平面A₁BD，A₁O∩BD=O
∴OE⊥平面EBD，
∵OE?平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面EBD；（9分）
（3）由（2）可知OE是三棱锥A₁-BDE的高，
∴VA1-BDE=

1

3

S△BDE•OE=

1

3

•

1

2

•2

2

a•2

2

a•sin

π

3

•

3

a=2a3，
VABCD-A1B1C1D1=8a3，
由题意，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁代表事件全体，三棱锥A₁-BDE代表所求事件，
这是一个几何概型，
∴苍蝇在三棱锥A₁-BDE内部飞的概率为VA1-BDE：VABCD-A1B1C1D1=

1

4

． （14分）

点评：本题主要考查了线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化，利用定义、定理和勾股定理证明线线垂直，第三小题是几何概型，实质上是求几何体的体积．