Question

16．已知双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的顶点在原点，它的准线过双曲线C₁的焦点，若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，则双曲线C₁的离心率为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，y²=4cx，代入整理可得答案．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px，依题意可知$\frac{p}{2}$=c，
∴p=2c，
抛物线方程与双曲线方程联立得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4cx}{{b}^{2}}$=1，
把x=c，代入整理得e⁴-6e²+1=0
解得e=$\sqrt{2}$+1，
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用题设的已知条件找到a和c的关系．