Question

已知函数f（x）=x³-x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求 c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函数f（x）=x³-x²+bx+c，我们可以求出函数的导函数，进而根据f（x）在（-∞，+∞）是增函数，则f′（x）≥0恒成立，构造关于b的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）当f（x）在x=1时取得极值时，则x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x²-x+b=0的另一个根，进而分析出区间[-1，2]的单调性，进而确定出函数f（x）在区间[-1，2]的最大值，进而构造关于c的不等式，根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，∵f（x）在（-∞，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得b≥．
∵x∈（-∞，+∞）时，只有b=时，f′（）=0，∴b的取值范围为[，+∞]．
（2）由题意，x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，设另一根为x，
则∴∴f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，-）	-	（-，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+		-		+
f（x）	+c	递增	极大值+c	递减	极小值+c	递增	2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵对x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，是函数与导数问题比较综合的应用，其中（1）的关键是构造关于b的不等式，而（2）的关键是问题转化为关于c的不等式恒成立问题．