Question

设点E、F分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点，△ABF是正三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过定点D（-，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，且满足，O是坐标原点．当△OPQ的面积最大时，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程，求得|AB|=，|EF|=2c，根据△ABF是正三角形，可得，从而可求椭圆的离心率；
（2）由（1）知可得椭圆的方程为2x²+3y²=6c²，设直线l的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，利用韦达定理及确定P，Q坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S_△OPQ的最大值，即可得到椭圆的方程．
解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程=1，注意到c²=a²-b²，解得y=±，所以|AB|=，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，∴
∴
∵，b²=a²-c²，
∴e²+2e-=0
∴或（舍去）
故所求椭圆的离心率为
（2）由（1）知，a²=3c²，b²=2c²，∴椭圆的方程为2x²+3y²=6c²，①
显然，直线l的斜率不为0
若直线l与x轴垂直，此时P，Q关于x轴对称，，不合题意；
因此，可设直线l的方程为y=k（x+）②，
将②代入①中整理得（3k²+2）x²+6k²x+9k²-6c²=0
因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=24（3k²c²-3k²+2c²）＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-④，x₁x₂=⑤
由得（x₁+，y₁）=2（--x₂，-y₂），∴⑥
由④⑥得，⑦
∴S_△OPQ=|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=18×=18×≤
当且仅当3|k|=，即k²=时，等号成立
∴k²=时，S_△OPQ取得最大值
由⑦求得x₁=，x₂=-2，代入⑤，求得c²=5，满足③
故所求椭圆的方程为2x²+3y²=30，即
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．