题目内容

已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为
1
2
，且它的长轴长等于圆C：x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是
x2
4
+
y2
3
=1
x2
4
+
y2
3
=1
．
分析：利用配方化简x2+y2-2x-15=0得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可．
解答：解：∵x2+y2-2x-15=0，
∴（x-1）2+y2=16，
∴r=4=2a，
∴a=2，
∵e=
1
2
，∴c=1，∴b2=3．
则椭圆的标准方程是
x2
4
+
y2
3
=1．
故答案为：
x2
4
+
y2
3
=1．
点评：考查学生会根据条件求圆标准方程，以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
（2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和椭圆弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．
（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为
3
2
的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①f(
k
2
)=6；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(
k
2
，0)对称；⑤函数f(m)=3
3
时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）

解答题

已知椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，能否在x轴下方的椭圆弧上找到一点M，使M到下准线的距离|MN|等于点M到焦点F1、F2的距离的比例中项？若存在，求出M点坐标；若不存在，说明理由．
如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点对称；⑤函数时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（ ）
A．①③⑤
B．②③④
C．②③⑤
D．③④⑤
已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y2=4mx和椭圆弧
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

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