Question

两个命题P：“对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立”；Q：“关于x的方程x²-x+a=0有两个不等的实数根”，如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则实数a的取值范围是

（-∞，0）∪[

1

4

，4）

．

Answer 1

分析：根据二次函数恒成立，求出命题p为真时a的取值范围，根据二次方程有实根求出命题q为真时a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答：解；∵对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立”
①a=0时，1＞0恒成立
②a≠0时，由二次函数的性质可得

a＞0 △=a2-4a＜0

，解可得0＜a＜4
综上可得P：0≤a＜4
∵关于x的方程x²-x+a=0有不等实数根
∴△=1-4a＞0
∴Q：a＜

1

4

∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真
如果p真q假，

0≤a＜4 a≥  1 4

，∴

1

4

≤a＜4
如果p假q真，

a≥4或a＜0 a≤ 1 4

，∴a＜0
所以实数a的取值范围为a＜0或，

1

4

≤a＜4
故答案为：（-∞，0）∪[

1

4

，4）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．