Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）对任意x∈R成立，当x∈（-1，0）时f（x）=2x，则f(

5

2

)=

1

．

Answer 1

分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x+2）=-f（x）成立，我们不难得到函数f（x）是一个周期函数，而且我们可以求出它的最小正周期T，根据周期函数的性质，我们易求出f（8）的值．

解答：解：∵对任意x∈R有f（x+2）=f（x）成立，
所以f（x）是周期为2的周期函数，
故f(

5

2

)=f（2+

1

2

）=f（

1

2

），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（

1

2

）=-f（-

1

2

），
又∵当x∈（-1，0）时f（x）=2x，
∴f（

1

2

）=-f（-

1

2

）=-2×(-

1

2

)=1．
故答案为：1．

点评：本题考查函数的奇偶性，周期性，以及它们的综合应用，求的值很容易联想利用函数的周期性来解答．关键是得出最小正周期．