题目内容

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
S3
S
=λ 3，
S 1
S
=λ 1，
S 2
S
=λ 2．则λ2•λ3取最大值时，2x+y的值为
3
2
3
2
．
分析：由题意可得，S1 =
1
2
S=S2+S3利用基本不等式λ2 •   λ3=
S2•S3
S2
≤
(S2+S3)2
4
S2
=
1
16
可知当λ2•λ3取最大值时点P在EF的中点，由向量的加法的四边形法则可得，
PA
+
PB
=2
PE
，
PA
+
PC
=2
PF
，从而可得2
PA
+
PB
+
PC
=
0
   结合
PA
+x
PB
+y
PC
=0可求x，y
解答：解：由题意可得，S1 =
1
2
S=S2+S3
λ2 •   λ3=
S2•S3
S2
≤
(S2+S3)2
4
S2
=
1
16
当且仅当S2=S3时取等号，此时点P在EF的中点
∴
PE
+
PF
=
0

由向量的加法的四边形法则可得，
PA
+
PB
=2
PE
，
PA
+
PC
=2
PF

∴2
PA
+
PB
+
PC
=
0
∵
PA
+x
PB
+y
PC
=0
∴x=y=
1
2
，2x+y=
3
2
点评：本题综合考查了利用基本不等式求解最值，向量加法的四边形法则的应用，构思比较巧妙，要注意体会掌握．
练习册系列答案
相关题目
已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2，则点P一定是△ABC的（　　）
（2012•济南二模）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3．则λ2•λ3取最大值时，2x+y的值为（　　）
（2011•朝阳区二模）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3，定义M（P）=（λ1，λ2，λ3）．当λ2•λ3取最大值时，则M（P）等于（　　）
已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，，．则λ2•λ3取最大值时，2x+y的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

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