Question

（2011•朝阳区二模）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3，定义M（P）=（λ₁，λ₂，λ₃）．当λ₂•λ₃取最大值时，则M（P）等于（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  1

  4

  ，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，

  1

  4

  ，

  1

  2

  )
• C．(

  1

  3

  ，

  1

  3

  ，

  1

  3

  )
• D．(

  1

  2

  ，

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根据题意，易得1=λ₁+λ₂+λ₃，又由S_△PBC=

1

2

S_△ABC，即λ₁=

1

2

，则λ₂+λ₃=

1

2

，由基本不等式可得λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

时取等号；即可得答案．

解答：解：根据题意，易得S=S₁+S₂+S₃，即S=λ₁S+λ₂S+λ₃S，进而可得：1=λ₁+λ₂+λ₃，
又由S_△PBC=

1

2

S_△ABC，即λ₁=

1

2

，
则λ₂+λ₃=

1

2

，
λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

时取等号；
此时M（P）=（λ₁，λ₂，λ₃）=（

1

2

，

1

4

，

1

4

）；
故选A．

点评：本题考查基本不等式的运用，关键在于发现λ₂+λ₃=

1

2

，进而结合基本不等式来解题．