Question

【题目】已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：由题意可令sinx+cosx=﹣ ， 两边平方可得1+2sinxcosx= ，
即有sin2x=﹣ ，
代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣ a﹣ b≤3，
可得a+b≥﹣2，
当a+b=﹣2时，令t=sinx+cosx= sin（x+ ）∈[﹣ ， ]，
即有sin2x=t2﹣1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，
可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣ ， ]恒成立，
则△=9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，
即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6=0，可得b=﹣ ，a=﹣ ．
而当b=﹣ ，a=﹣ 时，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=﹣ t﹣ （t2﹣1）
=﹣ （t+ ）2+3≤3．
所以当a+b取得最小值﹣2，此时a=﹣ ．
所以答案是：﹣ ．