Question

已知椭圆：的短轴长为，且斜率为的直线过椭圆的焦点及点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线过椭圆的左焦点，交椭圆于点P、Q.

（ⅰ）若满足（为坐标原点），求的面积；

（ⅱ）若直线与两坐标轴都不垂直，点在轴上，且使为的一条角平分线，则称点为椭圆的“特征点”，求椭圆的特征点．

 

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）2，（ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）由短轴长得，由焦点和点可算出斜率为，可以得到焦点坐标，所以可以得椭圆的方程。（2）（ⅰ）由向量的数量积公式及三角形面积公式可得出结果。（ⅱ）设直线的方程，但是不需要求的方程，通过与椭圆联立方程组进行求解。

试题解析：（1）由题意可知，直线的方程为， 1分

∵直线过椭圆的焦点，∴该焦点坐标为∴ 2分

又椭圆的短轴长为，∴，∴ 3分

∴椭圆的方程为 4分

（2）（ⅰ）∵

∴ 6分

∴ 8分

（ⅱ）设特征点，左焦点为，可设直线PQ的方程为，

由消去得

设，则

10分

∵为的一条角平分线，

∴，即 12分

又，，代入上式可得

∴，解得

∴椭圆C的特征点为． 14分

考点：圆锥曲线与其他知识的综合