Question

12．比较各数：2${\;}^{\frac{2}{3}}$，（$\frac{3}{4}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$，1，（$\frac{4}{3}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$的大小．

Answer 1

分析 根据幂函数y=${x}^{\frac{2}{3}}$的图象与性质判断${2}^{\frac{2}{3}}$＞${（\frac{4}{3}）}^{\frac{2}{3}}$，再根据指数函数的图象与性质判断${（\frac{4}{3}）}^{\frac{2}{3}}$＞1，${（\frac{3}{4}）}^{\frac{1}{3}}$＜1；
由此比较题目中各数的大小．

解答 解：∵幂函数y=${x}^{\frac{2}{3}}$在（0，+∞）上是单调增函数，且2＞$\frac{4}{3}$，
∴${2}^{\frac{2}{3}}$＞${（\frac{4}{3}）}^{\frac{2}{3}}$；
又根据指数函数的图象与性质得${（\frac{4}{3}）}^{\frac{2}{3}}$＞1，${（\frac{3}{4}）}^{\frac{1}{3}}$＜1；
∴2${\;}^{\frac{2}{3}}$＞${（\frac{4}{3}）}^{\frac{2}{3}}$＞1＞（$\frac{3}{4}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$．

点评 本题考查了利用函数的图象与性质比较大小的应用问题，是基础题目．