Question

如图，在二面角αlβ中，A、B∈α，C、D∈l，四边形ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．

(1)求二面角αlβ的大小；

(2)求证：MN⊥AB；

(3)求异面直线PA和MN所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：连结PD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥DC，又PA⊥α，∴PD⊥l．∴∠PDA为二面角αlβ的平面角． 　　又∵PA⊥AD，PA＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形．∴∠PDA＝45°，即二面角αlβ的平面角为45°． 　　(2)证明：过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，∴CD⊥平面MNE，MN⊥CD． 　　又∵AB∥CD，∴MN⊥AB． 　　(3)解：过N作NF∥CD，交PD于F，∵N是PC的中点，∴F是PD的中点．连结AF，可以证明四边形AMNF是平行四边形，∴AF∥MN，∠PAF是异面直线PA和MN所成的角． 　　∵PA＝AD，F是PD的中点．∴AF是∠PAD的角平分线． 　　∵∠PAD＝90°，∴∠PAF＝45°．∴异面直线PA和MN所成的角为45°．