Question

如图：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，p∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
（1）求二面角α-l-β的大小
（2）求证：MN⊥AB
（3）求异面直线PA和MN所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接PD，结合已知中ABCD为矩形，PA⊥α，我们可由三垂线定理得∠ADP为二面角α-l-β的平面角，由PA⊥α，且PA=AD，可判断△PAD为等腰直角三角形，进而得到二面角α-l-β的大小
（2）设E为DC中点，连接NE，易由平面MEN∥平面APD．AB∥CD，由线面垂直的第二判定定理，结合CD⊥平面APD，得到AB⊥平面MEN．进而AB⊥MN．
（3）设F为DP中点．连接AG，GN，可证得FNMA为平行四边形，故异面直线PA与MN的夹角为∠FAP，结合△PAD为等腰直角三角形，易求出∠FAP的大小．
解答：解：（1）连接PD，∵PA⊥α．∠ADC=90°．
∴∠PDC=90°（三垂线定理）．
∠ADP为二面角α-l-β的平面角．
∴△PAD为等腰直角三角形．
∴二面角α-l-β为45°．
（2）设E为DC中点，连接NE，
则NE∥PD，ME∥AD．
由面面平行的判定定理得：
平面MEN∥平面APD．
AB∥CD
∵CD⊥平面APD
∴AB⊥平面APD
∴AB⊥平面MEN．
∴AB⊥MN．
（3）设F为DP中点．连接AG，GN
则FN=DC=AM．FN∥DC∥AM．
∴FNMA为平行四边形
则异面直线PA与MN的夹角为∠FAP
∠FAP=∠PAD=45°（等腰直角三角形DAP上直角的一半）．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，其中（1）的关键是证得∠ADP为二面角α-l-β的平面角，（2）要注意空间中线面垂直，线线垂直，面面垂直之间的相互转化，（3）的关键是证得∠FAP为异面直线PA与MN的夹角．