题目内容
如图，在二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2| 17 |
分析：将向量
转化成
=
+
+
，然后等式两边同时平方表示出向量
的模，再根据向量的数量积求出向量
与
的夹角，而两个向量 的夹角就是二面角的大小．
| CD |
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
| CD |
| CA |
| BD |
解答：解：由条件，知
•
=0，
•
=0，
=
+
+
所以|
|2=|
|2+|
|2+|
|2+2
•
+2
•
+2
•
=62+42+82+2×6×8cos ?
，
＞=(2
)2
所以cos?
，
＞=-
，即?
，
＞=120°，
所以二面角的大小为60°，
故答案为60°．
| CA |
| AB |
| AB |
| BD |
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
所以|
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
| CA |
| AB |
| AB |
| BD |
| CA |
| BD |
=62+42+82+2×6×8cos ?
| CA |
| BD |
| 17 |
所以cos?
| CA |
| BD |
| 1 |
| 2 |
| CA |
| BD |
所以二面角的大小为60°，
故答案为60°．
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
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如图：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，p∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
如图：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，p∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
，则二面角α-l-β的大小为 ．