Question

已知椭圆C₁：=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=r²（r＞0）都过点P（-1，0），且椭圆C₁离心率为，过点P作斜率为k₁，k₂的直线分别交椭圆C₁、圆C₂于点A、B、C、D（如图），k₁=2k₂．
（1）求椭圆C₁和圆C₂的方程；
（2）求证：直线BC恒过定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把定点代入圆的方程求圆的半径，利用椭圆过定点得到a的值，代入离心率后求得c的值，结合b²=a²-c²求得b的值，则圆与椭圆的方程可求；
（2）设出直线AB和CD的方程，分别和圆与椭圆联立后求出A，B，C，D的坐标，求出BC的斜率（用k₂）表示，由点斜式写出直线BC的方程后可得直线BC恒过定点．
解答：（1）解：由圆C₂：x²+y²=r²（r＞0）过点P（-1，0），得到r²=1，
所以圆C₂的方程为x²+y²=1．
由椭圆C₁离心率为=，
由椭圆C₁：=1（a＞b＞0）过点P（-1，0），得，
所以a=1，代入，得c=，
所以．
所以椭圆C₁的方程为x²+2y²=1；
（2）证明：由题意可设直线AB的方程为y=k₁（x+1），直线CD的方程为y=k₂（x+1）．
由．
由．
同理可得：，
所以，因为k₁=2k₂，所以，
所以直线BC的方程为．
即，恒过定点（1，0）．
点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，往往需要涉及繁杂的计算，这就需要学生有较强的运算能力，属难题．