Question

已知椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与共线，与共线，且•=0，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：，由此能求出椭圆方程．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而四边形PMQN面积为8；设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程为y=，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由抛物线定义可知：|MN|=4+，由此求出S_PMQN=＞8，所以四边形PMQN面积的最小值为8．
解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：，
∴a=2，c=1，b=，
∴所求的椭圆方程为．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，
且抛物线C的焦点为（1，0），
准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C：y²=4x．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由抛物线定义可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
==4+，
由，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|==，
∴S_PMQN==
=
=24，
令1+k²=t，∵k²＞0，则t＞1，
则S_PMQN=
=
=．
因为3-=4-（1+）²∈（0，3），
所以S_PMQN=＞8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．
点评：本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．