题目内容

已知椭圆C1=1 (a>b>0)与双曲线C2:x2-=1 有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2=
B.a2=3
C.b2=
D.b2=2
【答案】分析:先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a,利用椭圆与双曲线有公共的焦点,得方程a2-b2=5;设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:;对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x,根据C1恰好将线段AB三等分得:2x=,从而可解出a2,b2的值,故可得结论
解答:解:由题意,C2的焦点为(±,0),一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C1的半焦距c=,于是得a2-b2=5   ①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:②,
由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x,
由题得:2x=,所以    ③
由②③得a2=11b2  ④
由①④得a2=5.5,b2=0.5  
故选C
点评:本题以椭圆,双曲线为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题思路清晰,但计算有点烦琐,需要小心谨慎.
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