Question

已知△ABC的底边长为12,且底边BC固定,顶点A是动点,使sinB-sinC=sinA.求点A的轨迹.

Answer 1

解:建立适当的直角坐标系,令B(-6,0)、C(6,0)、A(x,y)为轨迹上任一点,则y≠0,|BC|=12.

因为sinB-sinC=sinA,利用正弦定理,我们有|AC|-|AB|=|BC|,结合双曲线定义,动点到两个定点C、B的距离之差为6,动点A位于以B、C为焦点的双曲线上.

又注意到,此时A点只能在左支上,并且不能与左顶点重合.

双曲线中,∵2a=6,2c=12,∴a=3,c=6.∴b²=c²-a²=27.又∵中心在原点,两焦点在x轴上,

∴方程为=1.∴点A的轨迹是双曲线=1的左支,并且除去点(-3,0).