Question

设双曲线的顶点为（0，±1），该双曲线又与直线

15

x-3y+6=0交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．
（1）求此双曲线的方程；
（2）求|AB|

Answer 1

（1）双曲线的顶点为（0，±1），可以假双曲线的方程为y2-

x2

b2

=1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

15

x1-3y1+6=0，

15

x2-3y2+6=0，
∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴x1x2=

3y1y2-6(y1+y2)+12

5

由OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由 y2-

x2

b2

=1和

15

x-3y+6=0联立消去x，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴y₁+y₂=

36

9-15b2

，y₁y₂=

15b2+36

9-15b2

，代入①中得b²=3，
经验证，此时△＞0，…（9分）
∴双曲线的方程为y2-

x2

3

=1
（2）将b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，y₁+y₂=-1，y₁y₂=-

9

4

∴|AB|=

1+ 1 k2

|y₂-y₁|=

1+ 3 5

•

1-4× -9 4

=4．