Question

【题目】已知离心率为的椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得,可设椭圆方程为，再代入点的坐标得代入设出的椭圆的方程，即可得椭圆的方程

（Ⅱ）先设点，的坐标分别为，，将直线方程与椭圆的方程联立：消去一个元，得到一个一元二次方程.再求解判别式：写出根与系数的关系.计算点到直线的距离，得到用表示 的面积，利用基本不等式求出面积的最大值.

试题解析：（Ⅰ）因为,所以设，，则，椭圆的方程为.

代入点的坐标得，，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，

由得，即，

，

，.

，

点到直线的距离，

的面积

，当且仅当，即时等号成立.

所以当时，面积的最大值为.