Question

19．（1）化简下列各式：
（Ⅰ）$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$+$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$-$\sqrt{6-4\sqrt{2}}$；
（Ⅱ）$\frac{1}{\root{3}{（2+\sqrt{5}）^{3}}}$+$\frac{1}{（\root{3}{2-\sqrt{5}}）^{3}}$；
（Ⅲ）$\sqrt{4{x}^{2}-4x+1}$+2$\root{4}{（x-2）^{4}}$（$\frac{1}{2}$≤x≤2）．

（2）已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}-3}$的值．

Answer 1

分析 （1）（Ⅰ）每一项的被开方数变成完全平方的形式，便可开出平方，从而得出答案；
（Ⅱ）进行根式的运算，再通分即可得出答案；
（Ⅲ）根据x的范围，进行开平方和开四次方的运算即可；
（2）可先求出x+x^-1=7，然后把原式的分子写成完全平方的形式，而分母利用立方和公式写成因式乘积的形式，然后带入${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$的值和x+x^-1的值再运算即可．

解答 解：（1）（Ⅰ）$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{（2-\sqrt{3}）^{2}}=2-\sqrt{3}$，$\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{（2-\sqrt{2}）^{2}}=2-\sqrt{2}$；
∴原式=$\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+2-\sqrt{2}=4$；
（Ⅱ）原式=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}+\frac{1}{2-\sqrt{5}}=\frac{2-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}}{4-5}=-4$；
（Ⅲ）原式=$\sqrt{（2x-1）^{2}}+2|x-2|$；
∵$\frac{1}{2}≤x≤2$；
∴1≤2x≤4；
∴$\sqrt{（2x-1）^{2}}=2x-1$，|x-2|=2-x；
∴原式=2x-1+2（2-x）=3；
（2）x²+x^-2-2=（x-x^-1）²，${x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}-3$=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x-1+{x}^{-1}）-3$；
由${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}=3$得：$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}=9$；
∴x+2+x^-1=9；
∴x+x^-1=7；
∴原式=$\frac{{7}^{2}}{3×6-3}=\frac{49}{15}$．

点评 考查完全平方公式在开平方中的运用，根式的运算，开偶次方时应注意得出的值要大于0，完全平方公式和立方和公式在化简求值中的应用．