Question

已知函数，（为自然对数的底数）。
（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围。

Answer 1

（1）最大值为0，最小值。（2）。

解析试题分析：（1）当时，，，…………2分
则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，……………
又，则，        ………………5分
。                           …………………6分
（2），则函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，则函数的值域为。………………8分
则转化为：当时，在区间上有两个不同的根。…………9分
而。
当时，函数在区间上为减函数，不符合题意。…………………10分
当时，有，函数在区间上为减函数，
不符合题意。                                         ………………………11分
当时，有，此时函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，而当趋于零时，趋于正无穷，且最小值为。
要使在区间上有两个不同的根，则。 ………12分
又，且，故只要，得。
而，从而有。          ……14分
考点：利用导数研究函数的单调区间和最值；导数的综合应用。
点评：在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。